Logo

Departament de Física i Química 


El model atòmic de Bohr

 

    El model atòmic de Bohr neix en l'intent d'explicar els espectres atòmics aplicant les idees, aleshores noves, de la quantització de l'energia formulades per Max Planck l'any 1900. Aquestes es poden resumir:

  • L'energia emesa o absorbida en forma de radiació electromagnètica no pot prendre qualsevol valor sinó que ha de ser un múltiple sencer d'un valor mínim, anomenat quantum d'energia.
  • L'energia d'un quantum és proporcional a la freqüència de la radiació.


  
        E= h · n   on  n és la freqüència de la radiació i h és la constant de Planck de valor 6,64·10-34 J·s

    El pas d'una radiació lluminosa a través d'un prisma òptic (o un altre sistema dispersant) fa que surti descomposta en les seves radiacions components. Així, si es fa passar llum blanca a través del prisma, en surten les radiacions que formen l'arc de Sant Martí. Es tracta d'un espectre continu, no hi ha cap discontinuïtat des de la radiació vermella a la violeta

prisma òptic

espectre continu


    L'estudi dels espectres de les radiacions emeses pels àtoms de diferents elements en ésser excitats energèticament, havia donat uns resultats molt peculiars: estaven formats només per algunes radiacions de longitud d'ona definida. Eren, per tant, discontinus. Així, l'espectre a la regió visible de l´hidrogen presentava com a més destacades aquestes radiacions:

espectre d'hidrogen.gif (969 bytes)

    El 1885, Johan Balmer va observar i mesurar aquesta sèrie de longituds d'ona i hi va veure una pauta regular. Pocs anys després, Rydberg va acabar la deducció empírica d'una equació relativament senzilla que permetia calcular aquestes longituds d'ona en funció d'uns paràmetres:

equació de Balmer(1893 bytes)

a on RH és la constant de Rydberg= 10967758 m-1 i n2 és un nombre natural a partir de 3. Així, per n2=3 s'obté la longitud d'ona de 656 nm que correspon a la línia vermella, per n2=4 la verda, etc

    Altres científics varen estudiar l'espectre de l'hidrogen fora de la regió visible de l'espectre (a l'infraroig i a l'ultaviolat) i varen descubrir unes altres sèries de línies, les longituds d'ona de les quals també podien ésser calculades amb la mateixa equació, però canviant el 2 del primer terme del parèntesis per 1, 3, 4 i 5. Es podia generalitzar de la següent manera

equació de Rydberg(1892 bytes)

en aquest cas n1 és un nombre natural 1,2, 3... i n2 també però a partir de n1+1


    Amb el seu model, Bohr intentà explicar el per què d'aquestes regularitats. Es pot dir que la deducció d'aquestes equacions eren l'objectiu principal del seu model. Aquest es basa en tres hipòtesis:

  • L'electró de l'àtom d'hidrogen només pot orbitar entorn del nucli en unes determinades òrbites circulars. Cadascuna d'elles es caracteritza per un valor d'un paràmetre n (nombre quàntic principal), que pot prendre els valors 1, 2, 3...

       La formulació matemàtica d'aquesta hipòtesi la fa imposant la condició que el moment angular de l'electró  mvr   està quantitzat, és a dir només pot tenir valors que siguin múltiples d'un valor mínim, 
    h / 2pi

    m v r = n h /2pi         (aquí apareix el paràmetre n)

       A partir d'aquest postulat i amb la dinàmica dels moviments circulars (la força centrípeta necessària per a la rotació és la força d'atracció del nucli sobre l'electró) es pot deduir una equació que doni els possibles valors per al radi de les òrbites permeses. En aquesta equació el radi és proporcional a n2

    l'equació és

  • Quan l'electró està dins una d'aquestes òrbites té una energia constant, per tant no emet energia radiant.

    L'energia total de l'electró dins una òrbita és la suma de l'energia cinètica i l'energia potencial electrostàtica. Aquestes dues energies es poden calcular en funció del radi de l'òrbita. Dels càlculs s'obté una energia que és proporcional a 1/ n2 (negativa a causa dels convenis de signes a les energies). Com més alt és el valor de n, més elevada és l'energia de l'òrbita


    La constant que multiplica a 1/n2 val 2,18·10-18 J, per tant, l'equació quedaria:
    E = -
    2,18·10-18·1/n2
  • Quan l'electró capta energia en una quantitat adequada, passa a una òrbita més allunyada del nucli. Quan torna a passar a una òrbita més pròxima al nucli, emet energia en forma radiant

    L'energia absorbida o emesa per l'electró quan passa d'una òrbita permesa a una altra ha de ser igual a la diferència d'energies entre les dues òrbites. Aquesta diferència es pot calcular perquè de l'anterior hipòtesi es tenen calculades les energies de les òrbites. Aplicant la relació de Planck entre l'energia d'una radiació i la seva freqüència, es pot calcular la freqüència de la radiació que l'electró emetrà o absorbirà quan canviï d'òrbita i per tant la freqüència (o  la longitud d'ona)  de la radiació que ha de sortir a l'anàlisi de l'espectre. 

    L'equació que permet calcular la longitud d'ona de la radiació emesa per l'electró quan passa d'una òrbita n2 a una altra n1 (n2 > n1 ) és:


on hi figuren la massa de l'elecró, la seva càrrega, la velocitat de la llum, la constant de Planck i la permitivitat elèctrica del buid. Tot el quocient que multiplica el paràntesi té un valor contant (és el resutat de multiplicar i dividir valors constants) i val 10973731,7 m-1, un valor molt semblant al de la constant de Rydberg. Aquest resultat va ser el gran èxit del model de Bohr, perquè va permetre calcular teòricament les longituds d'ona de les línies de l'espectre de l'hidrogen amb una precisió molt bona.

A continuació es poden veure algunes transicions de l'electró cap a l'òrbita n=2, que són aquelles que donen les radiacions visibles de l'espectre (les que tenen com a òrbita de destí n=1 estan dins la regió de l'ultraviolat i les que van a parar a n=3, n=4 o superiors, cauen dins l'infraroig)

n=3 a n=2transició 3_2.gif (7290 bytes)

n=4 a n=2transició 4_2.gif (7429 bytes)

espectre d'hidrogen.gif (969 bytes)

n=5 a n=2transició 5_2.gif (7527 bytes)